シュヴァルツシルト計量テンソルのリーマンテンソル
リーマンテンソルは $$ R^ n _ {\, ijk} = \partial _ j\Gamma^ n _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ n _ {\, ji} + \Gamma^ n _ {\, jm}\Gamma^ m _ {\, ki} - \Gamma^ n _ {\, km}\Gamma^ m _ {\, ji} $$ である．これを4階共変版は次のようになる． $$ R _ {nijk} = g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} $$
4次元時空におけるリーマンテンソルの独立な成分は下記の表の20個である．
| 0101 | 1013 | 2323 |
| 0102 | 1212 | 3031 |
| 0103 | 1213 | 3032 |
| 0202 | 1313 | 3132 |
| 0203 | 2021 | 0123 |
| 0303 | 2023 | 0213 |
| 1012 | 2123 |
クリストッフェル記号は次の以下になる. もちろん以下の結果では添字で縮約をとっていないことに注意が必要である.
| 添字のパターン | 添字の例 | 結果 |
|---|---|---|
| (1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $ | $\Gamma^ 0 _ {\,00},\Gamma^ 1 _ {\,11} $ | $\Gamma^ n _ {\, nn} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {nn,n}$ |
| (2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,10}, \Gamma^ 2 _ {\,02}$ | $\Gamma^ n _ {\, n \nu} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {n n, \nu}$ |
| (3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$ | $\Gamma^ 0 _ {\,11}, \Gamma^ 1 _ {\,00}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \mu} = -\frac{1}{2} g^ {nn}g _ {\mu \mu, n}$ |
| (4) すべて異なる $n \neq \mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,23}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = 0$ |
全ての添字が異なる場合のリーマンテンソル
このとき実はすべての場合について0になる， $$ \begin{align} R _ {nijk} &= g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} \\ &= g _ {nm}(\partial _ j\Gamma^ m _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ m _ {\, ji} + \Gamma^ m _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, ki} - \Gamma^ m _ {\, kh}\Gamma^ h _ {\, ji}) \end{align} $$ ここで計量は対角成分しか持たないため， $$ R _ {nijk} = g _ {nn}(\partial _ j\Gamma^ n _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ n _ {\, ji} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ n _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, ki} - \Gamma^ n _ {\, kh}\Gamma^ h _ {\, ji})) $$ となる．上の式では縮約をとっていないことに注意．すると前半の2項はクリストッフェル記号の添字がすべて異なるので0となる. 同様に後半の2項についても, 添字 $h$ が $n,i,j,k$ のどの添字になったとしてもクリストッフェル記号同士の積のどちらかが0になる. よってすべての添字が異なる成分は0になる.
上の議論では計量が対角成分しか持たないという性質のみを使っている. そのため今回の結論はシュヴァルツシルト計量だけではなく任意の対角型の計量についても成り立つ.
共変と反変
実は計量が対角成分しか持たいないとき, さらに嬉しい性質がある. 一般的には添字の上げ下げでは $$ \begin{align} R _ {nijk} &= g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} \\ &= g _ {n0} R^ 0 _ {\, ijk} + g _ {n1} R^ 1 _ {\, ijk} + g _ {n2} R^ 2 _ {\, ijk} + g _ {n3} R^ 3 _ {\, ijk} \end{align} $$ という計算が行われる. だから具体的に成分を計算するような場合に $R _ {nijk}$ から $R^ n _ {\, ijk}$ を求めるには, さらに他の3つの項が必要になってしまう.
一方で計量テンソルが対角成分しか持たない場合は, $$ R _ {1010} = g _ {11} R^ 1 _ {\, 010} $$ のように, $R _ {nijk}$ から $R^ n _ {\, ijk}$ を求める計算がかなり楽になるのだ.
$R _ {ninj}$ の成分の計算
対角型の計量の場合にはリーマンテンソルの成分で有限なものは $R _ {ninj}$ の形のものだけである. 計量が対角成分しか持たないという性質を使って計算を簡略化できないかなと思っていたがそうではなかった. だから地道に計算していく.
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう.
$n=0$ のとき
シュヴァルツシルト計量に時間依存する成分がないことに注意すると ($g _ {00} = -(1-\frac{r _ s}{r})$) $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(\partial _ 0 \Gamma^ 0 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 0 _ {\, 0h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 0i})) \\ &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 0 _ {\, 0h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 0i})) \end{align} $$ ここで $\Gamma^ 0 _ {\, 0h}$ が有限になるのは $h=1$ のときのみで, $\Gamma^ 0 _ {\, jh}$ が有限になるのは $(j,h) = (0,1),(1,0)$ のみである. すると, $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 0i} - \Gamma^ 0 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 0i}) \end{align} $$ となる. また, $\Gamma^ 1 _ {\, 0i}$ については今は$ i \neq 0$ なので0になる. $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 0i}) \end{align} $$ ここで微分の項は, $i=1$で有限になり,それは $r$ のみに依存するので, $ i= j= 1$ のときのみ残る. また,他の2項は $i \neq j$ で0にある. だらか今回のリーマンテンソルの成分は $i \neq j$ のときに0となる. だから結局 $ i = j$ の成分のみを考えればよい.
$0101$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0101} &= g _ {00}(- \partial _ 1 \Gamma^ 0 _ {\, 01} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 11} - \Gamma^ 0 _ {\, 10}\Gamma^ 0 _ {\, 01} ) \end{align} $$
ここで $\Gamma^ 1 _ {\, 11} = -\frac{r _ s}{2r}\frac{1}{(r-r _ s)}, \Gamma^ 0 _ {\, 0 1} = \frac{1}{2}(\frac{r _ s}{r})\frac{1}{(r-r _ s)}$ より, 計算を進めていくと $$ R _ {0101} = - \frac{r _ s}{r^ 3}, \, R^ 0 _ {\, 101} = \frac{r _ s}{r^ 2 (r-r _ s)} $$ が得られる.
$0202$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0202} &= g _ {00}(\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 22} - \Gamma^ 0 _ {\, 20}\Gamma^ 0 _ {\, 02}) \\ &= g _ {00}\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 22} \end{align} $$
で, $\Gamma^ 1 _ {\, 22} = -(r-r _ s)$ より $$ R _ {0101} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2}, \, R^ 0 _ {\, 101} = \frac{-r _ s}{2r} $$
$0303$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0303} &= g _ {00}(\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 0 _ {\, 30}\Gamma^ 0 _ {\, 03}) \\ &= g _ {00}\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 33} \end{align} $$
で, $\Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta $ より $$ R _ {0303} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2} \sin^ 2 \theta , \, R^ 0 _ {\, 303} = \frac{-r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta $$
$n=1$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう. $$ R _ {1i1j} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} + \sum ^ {3} _ {h=1} (\Gamma^ 1 _ {\, 1h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 1 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 1i})) $$ ここで $\Gamma^ 1 _ {\, 1h}$ が有限になるのは $h = 1$ のときのみであり, $\Gamma^ 1 _ {\, jh}$ が有限になるのは $h = j$ のときのみであるから,
$$ R _ {1i1j} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 1 _ {\, jj}\Gamma^ j _ {\, 1i}) $$ が成り立つ. 今回も $i \neq j$ で成分が0になりそうだ. 実際, クリストッフェル記号の上の添字が1のとき, これが0にならないのは, 下の2つの添字が揃っているときである. なので $i \neq j$ では, $$ R _ {1i1j} = g _ {11}(- \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} - \Gamma^ 1 _ {\, jj}\Gamma^ j _ {\, 1i}) $$ であり, 下の添字に1が含まれる場合, 他の残り2つが同じもののみ非零であり, かつ $i, j \neq 1$ を考えているので $ R _ {1i1j} = 0$ になる.
$1010$ のとき
添字の対称性より $ R _ {1010} = R _ {0101}$ である.
$1212$ のとき
$$ R _ {1212} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, 22} - \partial _ 2 \Gamma^ 1 _ {\, 22} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, 22} - \Gamma^ 1 _ {\, 22}\Gamma^ 2 _ {\, 12}) $$
であり, $\Gamma^ 1 _ {\, 22} = -(r-r _ s)$, $\Gamma^ 1 _ {\, 11} = -\frac{r _ s}{2r}\frac{1}{(r-r _ s)}$, $\Gamma^ 2 _ {\, 2 1} = \frac{1}{r}$, $g _ {11} = \frac{r}{r-r _ s}$ より計算を進めていくと $$ R _ {1212} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)}, R^ 1 _ {\, 212} = -\frac{r _ s}{2r} $$
$1313$ のとき
$$ R _ {1313} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, 33} - \partial _ 3 \Gamma^ 1 _ {\, 33} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 1 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 13}) $$
であり, $\Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta $, $\Gamma^ 3 _ {\, 3 1} = \frac{1}{r}$ より計算を進めていくと $$ R _ {1313} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)} \sin^ 2 \theta, R^ 1 _ {\, 313} = -\frac{r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta $$
$n = 2$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう. $$ R _ {2i2j} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 2 _ {\, 2h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 2 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 2i})) $$ であり, $\Gamma^ 2 _ {\, 2h}$ が有限になるのは $ h = 1 $ のときのみで, $$ R _ {2i2j} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - (\Gamma^ 2 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j2}\Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j3}\Gamma^ 3 _ {\, 2i})) $$ である. 今回も実は $ i = j $ のときのみリーマンテンソルの成分は有限になる. しかし今回はそれを示すのは少々面倒くさい.
上の添字が2であるクリストッフェル記号の下の添字にどんなパターンがあるのか, 上の添字が3の場合はどうか, $i , j \neq 2$ を考えていること, の3つを考慮しながら各自の項を考察していくと以下の表が得られる.
| 項 | ありえるパターン | 有限になる添字のパターン | コメント |
|---|---|---|---|
| $\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}, \Gamma^ 2 _ {\, 33}$ | $i = j = 3$ | $i, j \neq 2$ より |
| $\partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}$ | $i=j=1$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21} = 1/r$ より |
| $\Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, ji}$ | $\Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}$ | $i=j$ | |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 2i}$ | なし | なし | $\Gamma ^ 0 _ {2i} = 0$ より |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, 22}$ | なし ($i=j=2$) | $i, j \neq 2$ より この項は0 |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j2}\Gamma^ 2 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 12}\Gamma^ 2 _ {\, 21}$ | $i=j=1$ | |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j3}\Gamma^ 3 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 23}$ | $i=j=3$ |
結局今回も項が有限になるのは $i = j$ のときのみなのである.
$2020$ のとき
添字の対称性より $R _ {2020} = R _ {0202}$
$2121$ のとき
添字の対称性より $R _ {2121} = R _ {1212}$
$2323$ のとき
上の表より $$ R _ {2323} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, 33} + \Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 2 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 23}) $$ となる. ここで $g _ {22} = r^ 2, \Gamma^ 2 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta, \Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta , \Gamma^ 3 _ {\, 32} = \frac{1}{\tan \theta}$ を用いると $$ R _ {2323} = rr _ s \sin^ 2 \theta, \, R^ 2 _ {\, 323} = \frac{r _ s}{r} \sin^ 2 \theta $$ である,
$n=3$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう.
もうめんどくさくなってきた. これも同様に $i=j$ のときのみ非零になるので確かめてほしい.
いつか書きます
独立な成分のまとめ
シュヴァルツシルト計量の場合のリーマンテンソルの独立な成分は以下の6つだけである. また, $R _ {ijij}$ 以外の形の成分はすべて0である.
| 添字 | $R _ {ijij}$ | $R^ i _ {\, jij}$ (おまけ) |
|---|---|---|
| 0101 | $R _ {0101} = - \frac{r _ s}{r^ 3}$ | $R^ 0 _ {\, 101} = \frac{r _ s}{r^ 2 (r-r _ s)}$ |
| 0202 | $R _ {0101} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2}$ | $R^ 0 _ {\, 101} = \frac{-r _ s}{2r}$ |
| 0303 | $R _ {0303} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2} \sin^ 2 \theta$ | $R^ 0 _ {\, 303} = \frac{-r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta$ |
| 1212 | $R _ {1212} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)}$ | $R^ 1 _ {\, 212} = -\frac{r _ s}{2r}$ |
| 1313 | $R _ {1313} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)} \sin^ 2 \theta$ | $R^ 1 _ {\, 313} = -\frac{r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta$ |
| 2323 | $R _ {2323} = rr _ s \sin^ 2 \theta$ | $R^ 2 _ {\, 323} = \frac{r _ s}{r} \sin^ 2 \theta$ |
