ベクトル場の共変微分(備考録)

デカルト座標におけるベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の微分は次のように書ける $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} $$ ここで $A^ {\mu}$ はベクトル場の成分, $x^ {\nu}$ は座標の成分, $\boldsymbol{e} _ {\mu}$ はデカルト座標系の基底, $\boldsymbol{e}^ {\nu}$ は双対基底である.

テンソルは成分だけよりも基底を使ったほうが扱いやすいしわかりやすいので, この記事でテンソルを扱う際には常に基底を表示することにする.

デカルト座標系から一般座標系へとベクトル場の微分を変換していく. まずはじめにベクトル場の成分を座標変換すると $$ \begin{align} \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial}{\partial x^ {\nu}}(\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k})\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \\ &= \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial}{\partial u^ {l}} (\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k})\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \\ &= \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} + \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \end{align} $$ となる. ここで $u^ {\nu}$ は一般座標系の座標である. 相変わらず一般相対論は添字だらけでごちゃごちゃになって大変だ. 次に最後の右辺の第一項と第二項をそれぞれ個別に式変形していく.

第一項の変形

第一項はデカルト座標系の基底を一般座標系の基底 $\boldsymbol{f} _ {\mu}, \boldsymbol{f}^ {\mu}$ で表すことでクリストッフェル記号を含んだ形になる.

基底の変換は, $$ \begin{align} \boldsymbol{e} _ {\mu} &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \boldsymbol{f} _ {a}, \\ \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial x^ {\nu}}{\partial u^ b} \boldsymbol{f}^ {b} \end{align} $$ となるので, これを第一項に代入すると $$ \begin{align} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial x^ {\nu}}{\partial u^ b} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \\ &= \delta^ l _ b \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \\ &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {b} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \end{align} $$ となるから, 最後の式にクリストッフェル記号が出てくることがわかる. まとめると, $$ \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = \Gamma^ {a} _ {\, bk} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} $$ となる. 添字を整理すると結局 $$ \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ が得られる.

第二項の変形

第二項の変形は第一項より多少は楽である. $$ \begin{align} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} (\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \boldsymbol{e} _ {\mu}) \otimes (\frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e}^ {\nu}) \end{align} $$ であり, 右辺の括弧の部分の偏微分は「デカルト座標系の基底を一般座標系で表すときの変換係数」の逆変換となることに気をつけると, $$ \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{f} _ {k} \otimes \boldsymbol{f}^ {l} $$ となり, これも添え字を整理することで $$ \frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ が得られる.

共変微分

第一項と第二項を足し合わせることで次の結果が得られる. $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = (\frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} + \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k}) \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ この右辺が求めたかった共変微分の式であり, $$ \nabla _ {\nu} B^ {\mu} = (\frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} + \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k}) $$ となる. このときもちろん $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}}\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = \nabla _ {\nu} B^ {\mu} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ であり, 共変微分は平坦な空間では通常の偏微分になることを表している.

ベクトル場の共変微分のクリストッフェル記号部分は, ベクトルの座標変換 $$ A^ {\mu} = \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k} $$ の左辺の係数から来ている, このことを考えると2階テンソル場の共変微分でクリストッフェル記号が2個現れるのも納得だろう.