ニュートン重力における軌道

質量 $ m $ の質点が質量 $ M $ の天体の周囲を公転しているとする. このとき極座標での系のラグランジアンは $$ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^ 2 + r^ 2 \dot{\theta}^ 2) + \frac{GMm}{r} $$ となる. ここで $r$ は天体と質点の距離, $G$ は万有引力定数である. この後必要になる微分を先に求めておくと, $$ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= m\dot{r} \\ \frac{\partial L}{\partial r} &= mr\dot{\theta}^ 2 - \frac{GMm}{r^ 2}\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= mr^ 2\dot{\theta}\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= 0\\ \end{align} $$ だから, 求めるオイラー・ラグランジュ方程式は $r$ については, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}) - \frac{\partial L}{\partial r} &= 0 \\ m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^ 2 + \frac{GMm}{r^ 2} &= 0 \end{align} $$ $\theta$ については, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}) - \frac{\partial L}{\partial \theta} &= 0 \\ \frac{d}{dt}(mr^ 2\dot{\theta}) &= 0 \end{align} $$ である. 後者の式は角運動量保存則 $l=mr^ 2\dot{\theta} = const.$ を表す. これを式変形すると $ \dot{\theta} = \frac{l}{mr^ 2}$ だからこれを $r$ の式に代入すると $$ m\ddot{r} -\frac{l^ 2}{mr^ 3} + \frac{GMm}{r^ 2} = 0 $$ が得られる. 左辺第二項と第三項は変数 $r$ の微分であるから, ポテンシャル$V(r)$ を用いることで $$ \begin{align} V(r) &= \frac{l^ 2}{2mr^ 2} - \frac{GMm}{r} \\ m\ddot{r} &= -\frac{d V}{dr} \end{align} $$ の形が得られる. 結局 $r$ 方向の運動はポテンシャル下の問題に帰着されるのだ. ここで系の力学的エネルギー $E$ を考えると $$ \begin{align} E &= \frac{1}{2}m(\dot{r}^ 2 + r^ 2 \dot{\theta}^ 2) - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + \frac{1}{2}m r^ 2 \dot{\theta}^ 2 - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + \frac{l^ 2}{2mr^ 2} - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + V(r) \end{align} $$ である. ポテンシャルを左辺に移項すると次のようになる. $$ E-V(r) = \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 $$ これが表すことはこうだ. ポテンシャル $V(r)$ のグラフを描いたとき, 力学的エネルギー $E$ と交わるような $r$ のときに, $r$方向の速度は0になる. 左辺が0以上のなる領域では $r$ 方向の速度分の運動エネルギーは $E-V(r)$ で与えられる.