座標変換と計量テンソル
# 座標変換と計量テンソル
デカルト座標系 $X^ i$ (基底は $\boldsymbol{a} _ i$ )と一般座標系 $x^ i$ (基底は $ \boldsymbol{b} _ i $ ) の2つを考える. 空間上のある一点を位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ は, デカルト座標系では次のように表わせる
$$ \boldsymbol{r} = X^ i \boldsymbol{a} _ i. $$
この両辺を全微分すると
$$ d\boldsymbol{r} = dX^ i \boldsymbol{a} _ i $$
となる. ここでチェーンルールを用いてデカルト座標系の成分の全微分を一般座標系に変換すると,
$$ \begin{align} d\boldsymbol{r} &= \frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} dx^ j \boldsymbol{a} _ i \\ &= dx^ j (\frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} \boldsymbol{a} _ i) \\ &= dx^ j \boldsymbol{b} _ j \end{align} $$
となる. これより基底 $\boldsymbol{b} _ i$ の求め方が明らかとなった. まずデカルト座標で点を表したあとに, 任意の座標成分を用いてデカルト座標の成分がどう表せれるかを考えるのがポイントである.
Note:
基底ベクトルは $\boldsymbol{b} _ i = \frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} \boldsymbol{a} _ j $ と変換されるが, 成分の方は $x^ i = \frac{\partial x^ i}{\partial X^ j} X _ j$ と変換されることに注意. この2つの変換はそれぞれ逆変換になっている. 成分 $X _ i$ の変換は基底の方の逆変換となっているので反変成分と呼ばれる.
一般座標系の基底は場所によって変化することに注意. 上の記述では, 基底 $\boldsymbol{b} _ i$ は点 $\boldsymbol{r} = (x^ 1, x^ 2, ... , x^ n)$ における基底 $\boldsymbol{b} _ i = \boldsymbol{b} _ i (x^ 1, x^ 2, ... , x^ n)$ としている.
例: 球面座標の基底を求めよう
球面座標 $(r, \theta, \phi)$ を例に上の考えを確かめてみよう. ここでデカルト座標 $(x,y,z)$ で表せる点は球面座標を用いると次のように書ける.
$$ \begin{align} x &= r \sin \theta \cos \phi, \\ y &= r \sin \theta \sin \phi, \\ z &= r \cos \theta \end{align} $$
これを行列を用いて書くと次のようになる.
$$ \begin{bmatrix} dx\\ dy\\ dz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi\\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi\\ \cos \theta & -r\sin \theta \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dr\\ d\theta\\ d\phi \end{bmatrix} $$
右辺の係数行列の列の部分が球面座標の基底の成分となる.
$$ \begin{align} \boldsymbol{e} _ r &= (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta), \\ \boldsymbol{e} _ {\theta} &= (r\cos \theta \cos \phi, r\cos \theta \sin \phi, -r\sin \theta \cos \phi),\\ \boldsymbol{e} _ {\phi} &= (-r\sin \theta \sin \phi, r\sin \theta \cos \phi, 0) \end{align} $$
通常は$r$ を括りだしたものを $\boldsymbol{e} _ {\theta}$ とし, $r\sin\theta$ を括りだしたものを $\boldsymbol{e} _ {\phi}$ とすることが多い.
計量テンソル
一般座標系における,空間内のある点 $\boldsymbol{r}$ での位置ベクトルの全微分を
$$ d\boldsymbol{r} = dx^ i \boldsymbol{e} _ i $$
とすると, 線素 $ds^ 2$ は次のようになる.
$$ \begin{align} ds^ 2 &= \boldsymbol{e} _ i \cdot \boldsymbol{e} _ j dx^ i dx^ j \\ &= g _ {ij} dx^ i dx^ j \end{align} $$
上の式に出てくる $g _ {ij}$ が計量テンソルである.
例: 球面座標の計量テンソル
さきほど導出した球面座標の基底ベクトルを代入して考えれば余裕である. 線素は
$$ ds^ 2 = dr^ 2 + r^ 2 d\theta^ 2 + r^ 2 \sin ^ 2 \theta d \phi ^ 2 $$
となるから, これからすぐに球面座標の計量テンソルがわかる.
$$ g _ {ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & r^ 2 \sin^ 2 \theta \end{bmatrix} $$
