シュヴァルツシルト計量テンソルのリーマンテンソル
リーマンテンソルは $$ R^ n _ {\, ijk} = \partial _ j\Gamma^ n _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ n _ {\, ji} + \Gamma^ n _ {\, jm}\Gamma^ m _ {\, ki} - \Gamma^ n _ {\, km}\Gamma^ m _ {\, ji} $$ である．これを4階共変版は次のようになる． $$ R _ {nijk} = g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} $$
4次元時空におけるリーマンテンソルの独立な成分は下記の表の20個である．
| 0101 | 1013 | 2323 |
| 0102 | 1212 | 3031 |
| 0103 | 1213 | 3032 |
| 0202 | 1313 | 3132 |
| 0203 | 2021 | 0123 |
| 0303 | 2023 | 0213 |
| 1012 | 2123 |
クリストッフェル記号は次の以下になる. もちろん以下の結果では添字で縮約をとっていないことに注意が必要である.
| 添字のパターン | 添字の例 | 結果 |
|---|---|---|
| (1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $ | $\Gamma^ 0 _ {\,00},\Gamma^ 1 _ {\,11} $ | $\Gamma^ n _ {\, nn} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {nn,n}$ |
| (2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,10}, \Gamma^ 2 _ {\,02}$ | $\Gamma^ n _ {\, n \nu} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {n n, \nu}$ |
| (3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$ | $\Gamma^ 0 _ {\,11}, \Gamma^ 1 _ {\,00}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \mu} = -\frac{1}{2} g^ {nn}g _ {\mu \mu, n}$ |
| (4) すべて異なる $n \neq \mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,23}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = 0$ |
全ての添字が異なる場合のリーマンテンソル
このとき実はすべての場合について0になる， $$ \begin{align} R _ {nijk} &= g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} \\ &= g _ {nm}(\partial _ j\Gamma^ m _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ m _ {\, ji} + \Gamma^ m _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, ki} - \Gamma^ m _ {\, kh}\Gamma^ h _ {\, ji}) \end{align} $$ ここで計量は対角成分しか持たないため， $$ R _ {nijk} = g _ {nn}(\partial _ j\Gamma^ n _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ n _ {\, ji} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ n _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, ki} - \Gamma^ n _ {\, kh}\Gamma^ h _ {\, ji})) $$ となる．上の式では縮約をとっていないことに注意．すると前半の2項はクリストッフェル記号の添字がすべて異なるので0となる. 同様に後半の2項についても, 添字 $h$ が $n,i,j,k$ のどの添字になったとしてもクリストッフェル記号同士の積のどちらかが0になる. よってすべての添字が異なる成分は0になる.
上の議論では計量が対角成分しか持たないという性質のみを使っている. そのため今回の結論はシュヴァルツシルト計量だけではなく任意の対角型の計量についても成り立つ.
共変と反変
実は計量が対角成分しか持たいないとき, さらに嬉しい性質がある. 一般的には添字の上げ下げでは $$ \begin{align} R _ {nijk} &= g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} \\ &= g _ {n0} R^ 0 _ {\, ijk} + g _ {n1} R^ 1 _ {\, ijk} + g _ {n2} R^ 2 _ {\, ijk} + g _ {n3} R^ 3 _ {\, ijk} \end{align} $$ という計算が行われる. だから具体的に成分を計算するような場合に $R _ {nijk}$ から $R^ n _ {\, ijk}$ を求めるには, さらに他の3つの項が必要になってしまう.
一方で計量テンソルが対角成分しか持たない場合は, $$ R _ {1010} = g _ {11} R^ 1 _ {\, 010} $$ のように, $R _ {nijk}$ から $R^ n _ {\, ijk}$ を求める計算がかなり楽になるのだ.
$R _ {ninj}$ の成分の計算
対角型の計量の場合にはリーマンテンソルの成分で有限なものは $R _ {ninj}$ の形のものだけである. 計量が対角成分しか持たないという性質を使って計算を簡略化できないかなと思っていたがそうではなかった. だから地道に計算していく.
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう.
$n=0$ のとき
シュヴァルツシルト計量に時間依存する成分がないことに注意すると ($g _ {00} = -(1-\frac{r _ s}{r})$) $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(\partial _ 0 \Gamma^ 0 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 0 _ {\, 0h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 0i})) \\ &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 0 _ {\, 0h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 0i})) \end{align} $$ ここで $\Gamma^ 0 _ {\, 0h}$ が有限になるのは $h=1$ のときのみで, $\Gamma^ 0 _ {\, jh}$ が有限になるのは $(j,h) = (0,1),(1,0)$ のみである. すると, $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 0i} - \Gamma^ 0 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 0i}) \end{align} $$ となる. また, $\Gamma^ 1 _ {\, 0i}$ については今は$ i \neq 0$ なので0になる. $$ \begin{align} R _ {0i0j} &= g _ {00}(- \partial _ j \Gamma^ 0 _ {\, 0i} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 0 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 0i}) \end{align} $$ ここで微分の項は, $i=1$で有限になり,それは $r$ のみに依存するので, $ i= j= 1$ のときのみ残る. また,他の2項は $i \neq j$ で0にある. だらか今回のリーマンテンソルの成分は $i \neq j$ のときに0となる. だから結局 $ i = j$ の成分のみを考えればよい.
$0101$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0101} &= g _ {00}(- \partial _ 1 \Gamma^ 0 _ {\, 01} + \Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 11} - \Gamma^ 0 _ {\, 10}\Gamma^ 0 _ {\, 01} ) \end{align} $$
ここで $\Gamma^ 1 _ {\, 11} = -\frac{r _ s}{2r}\frac{1}{(r-r _ s)}, \Gamma^ 0 _ {\, 0 1} = \frac{1}{2}(\frac{r _ s}{r})\frac{1}{(r-r _ s)}$ より, 計算を進めていくと $$ R _ {0101} = - \frac{r _ s}{r^ 3}, \, R^ 0 _ {\, 101} = \frac{r _ s}{r^ 2 (r-r _ s)} $$ が得られる.
$0202$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0202} &= g _ {00}(\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 22} - \Gamma^ 0 _ {\, 20}\Gamma^ 0 _ {\, 02}) \\ &= g _ {00}\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 22} \end{align} $$
で, $\Gamma^ 1 _ {\, 22} = -(r-r _ s)$ より $$ R _ {0101} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2}, \, R^ 0 _ {\, 101} = \frac{-r _ s}{2r} $$
$0303$ の場合
$$ \begin{align} R _ {0303} &= g _ {00}(\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 0 _ {\, 30}\Gamma^ 0 _ {\, 03}) \\ &= g _ {00}\Gamma^ 0 _ {\, 01}\Gamma^ 1 _ {\, 33} \end{align} $$
で, $\Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta $ より $$ R _ {0303} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2} \sin^ 2 \theta , \, R^ 0 _ {\, 303} = \frac{-r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta $$
$n=1$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう. $$ R _ {1i1j} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} + \sum ^ {3} _ {h=1} (\Gamma^ 1 _ {\, 1h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 1 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 1i})) $$ ここで $\Gamma^ 1 _ {\, 1h}$ が有限になるのは $h = 1$ のときのみであり, $\Gamma^ 1 _ {\, jh}$ が有限になるのは $h = j$ のときのみであるから,
$$ R _ {1i1j} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - \Gamma^ 1 _ {\, jj}\Gamma^ j _ {\, 1i}) $$ が成り立つ. 今回も $i \neq j$ で成分が0になりそうだ. 実際, クリストッフェル記号の上の添字が1のとき, これが0にならないのは, 下の2つの添字が揃っているときである. なので $i \neq j$ では, $$ R _ {1i1j} = g _ {11}(- \partial _ j \Gamma^ 1 _ {\, 1i} - \Gamma^ 1 _ {\, jj}\Gamma^ j _ {\, 1i}) $$ であり, 下の添字に1が含まれる場合, 他の残り2つが同じもののみ非零であり, かつ $i, j \neq 1$ を考えているので $ R _ {1i1j} = 0$ になる.
$1010$ のとき
添字の対称性より $ R _ {1010} = R _ {0101}$ である.
$1212$ のとき
$$ R _ {1212} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, 22} - \partial _ 2 \Gamma^ 1 _ {\, 22} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, 22} - \Gamma^ 1 _ {\, 22}\Gamma^ 2 _ {\, 12}) $$
であり, $\Gamma^ 1 _ {\, 22} = -(r-r _ s)$, $\Gamma^ 1 _ {\, 11} = -\frac{r _ s}{2r}\frac{1}{(r-r _ s)}$, $\Gamma^ 2 _ {\, 2 1} = \frac{1}{r}$, $g _ {11} = \frac{r}{r-r _ s}$ より計算を進めていくと $$ R _ {1212} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)}, R^ 1 _ {\, 212} = -\frac{r _ s}{2r} $$
$1313$ のとき
$$ R _ {1313} = g _ {11}(\partial _ 1 \Gamma^ 1 _ {\, 33} - \partial _ 3 \Gamma^ 1 _ {\, 33} + \Gamma^ 1 _ {\, 11}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 1 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 13}) $$
であり, $\Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta $, $\Gamma^ 3 _ {\, 3 1} = \frac{1}{r}$ より計算を進めていくと $$ R _ {1313} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)} \sin^ 2 \theta, R^ 1 _ {\, 313} = -\frac{r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta $$
$n = 2$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう. $$ R _ {2i2j} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \sum ^ {3} _ {h=0} (\Gamma^ 2 _ {\, 2h}\Gamma^ h _ {\, ji} - \Gamma^ 2 _ {\, jh}\Gamma^ h _ {\, 2i})) $$ であり, $\Gamma^ 2 _ {\, 2h}$ が有限になるのは $ h = 1 $ のときのみで, $$ R _ {2i2j} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji} - \partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, ji} - (\Gamma^ 2 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j2}\Gamma^ 2 _ {\, 2i} + \Gamma^ 2 _ {\, j3}\Gamma^ 3 _ {\, 2i})) $$ である. 今回も実は $ i = j $ のときのみリーマンテンソルの成分は有限になる. しかし今回はそれを示すのは少々面倒くさい.
上の添字が2であるクリストッフェル記号の下の添字にどんなパターンがあるのか, 上の添字が3の場合はどうか, $i , j \neq 2$ を考えていること, の3つを考慮しながら各自の項を考察していくと以下の表が得られる.
| 項 | ありえるパターン | 有限になる添字のパターン | コメント |
|---|---|---|---|
| $\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, ji}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}, \Gamma^ 2 _ {\, 33}$ | $i = j = 3$ | $i, j \neq 2$ より |
| $\partial _ j \Gamma^ 2 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}$ | $i=j=1$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21} = 1/r$ より |
| $\Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, ji}$ | $\Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}$ | $i=j$ | |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j0}\Gamma^ 0 _ {\, 2i}$ | なし | なし | $\Gamma ^ 0 _ {2i} = 0$ より |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j1}\Gamma^ 1 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, 22}$ | なし ($i=j=2$) | $i, j \neq 2$ より この項は0 |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j2}\Gamma^ 2 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 12}\Gamma^ 2 _ {\, 21}$ | $i=j=1$ | |
| $\Gamma^ 2 _ {\, j3}\Gamma^ 3 _ {\, 2i}$ | $\Gamma^ 2 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 23}$ | $i=j=3$ |
結局今回も項が有限になるのは $i = j$ のときのみなのである.
$2020$ のとき
添字の対称性より $R _ {2020} = R _ {0202}$
$2121$ のとき
添字の対称性より $R _ {2121} = R _ {1212}$
$2323$ のとき
上の表より $$ R _ {2323} = g _ {22}(\partial _ 2 \Gamma^ 2 _ {\, 33} + \Gamma^ 2 _ {\, 21}\Gamma^ 1 _ {\, 33} - \Gamma^ 2 _ {\, 33}\Gamma^ 3 _ {\, 23}) $$ となる. ここで $g _ {22} = r^ 2, \Gamma^ 2 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta, \Gamma^ 1 _ {\, 33} = -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta , \Gamma^ 3 _ {\, 32} = \frac{1}{\tan \theta}$ を用いると $$ R _ {2323} = rr _ s \sin^ 2 \theta, \, R^ 2 _ {\, 323} = \frac{r _ s}{r} \sin^ 2 \theta $$ である,
$n=3$ のとき
シュヴァルツシルト計量のときにクリストッフェル記号が有限になる成分は $\Gamma ^ {0} _ {\, 01}, \Gamma ^ {1} _ {\, 00}, \Gamma ^ {1} _ {\, 11}, \Gamma ^ {1} _ {\, 22}, \Gamma ^ {1} _ {\, 33}, \Gamma ^ {2} _ {\, 21}, \Gamma ^ {2} _ {\, 33}, \Gamma ^ {3} _ {\, 31}, \Gamma ^ {3} _ {\, 32}$ の9個であることに注意しながら計算を進めていこう.
もうめんどくさくなってきた. これも同様に $i=j$ のときのみ非零になるので確かめてほしい.
いつか書きます
独立な成分のまとめ
シュヴァルツシルト計量の場合のリーマンテンソルの独立な成分は以下の6つだけである. また, $R _ {ijij}$ 以外の形の成分はすべて0である.
| 添字 | $R _ {ijij}$ | $R^ i _ {\, jij}$ (おまけ) |
|---|---|---|
| 0101 | $R _ {0101} = - \frac{r _ s}{r^ 3}$ | $R^ 0 _ {\, 101} = \frac{r _ s}{r^ 2 (r-r _ s)}$ |
| 0202 | $R _ {0101} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2}$ | $R^ 0 _ {\, 101} = \frac{-r _ s}{2r}$ |
| 0303 | $R _ {0303} = \frac{r _ s(r-r _ s)}{2r^ 2} \sin^ 2 \theta$ | $R^ 0 _ {\, 303} = \frac{-r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta$ |
| 1212 | $R _ {1212} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)}$ | $R^ 1 _ {\, 212} = -\frac{r _ s}{2r}$ |
| 1313 | $R _ {1313} = -\frac{r _ s}{2(r-r _ s)} \sin^ 2 \theta$ | $R^ 1 _ {\, 313} = -\frac{r _ s}{2r} \sin^ 2 \theta$ |
| 2323 | $R _ {2323} = rr _ s \sin^ 2 \theta$ | $R^ 2 _ {\, 323} = \frac{r _ s}{r} \sin^ 2 \theta$ |
リーマンテンソルの対称性
リーマンテンソルは $$ R^ n _ {\, ijk} = \partial _ j\Gamma^ n _ {\, ki} - \partial _ k \Gamma^ n _ {\, ji} + \Gamma^ n _ {\, jm}\Gamma^ m _ {\, ki} - \Gamma^ n _ {\, km}\Gamma^ m _ {\, ji} $$ である．これを4階共変版は次のようになる． $$ R _ {nijk} = g _ {nm} R^ m _ {\, ijk} $$
リーマンテンソルの対称性
リーマンテンソルは一見すると$4^ 4 = 256$ 次元のやばいやつに見えるが，実は独立な成分は $20$ 個だけらしい．
でもそんなめんどくさいリーマンテンソルにも添字の対称性がありました．
左端2つと右端2つを丸ごと入れ替える対称性 $$ R _ {nijk} = R _ {jkni} $$ 左端2つを入れ替える対称性，右端2つを入れ替える対称性 $$ R _ {injk} ＝ -R _ {nijk}, \, R _ {nikj} = -R _ {nijk} $$ 右側3つの添字を巡回した和が0 $$ R _ {nijk} + R _ {njki} + R _ {nkij} = 0 $$ これは左端の添字が固定され，残りが$(1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)$のように巡回していくものである．
今回はこの3つの対称性を用いてリーマンテンソルの独立な成分を見ていく．
添字が全て同じ場合
このときリーマンテンソルは0になる．2番目の対称性を用いることで $$ R _ {nnnn} ＝ -R _ {nnnn} $$ となるので，0となることがすぐにわかる．
添字が3つとも同じ場合
この場合は，左端2つまたは右端2つの添字の必ずどちらかが同じになっている． 例えば次の添字の例 $0111, 1011, 1101, 1110$ が挙げられる．このとき，2番目の対称性を用いることでリーマンテンソルが0になることがわかる．
添字が2つとも同じ場合
右端2つまたは左端2つが同じ場合は先ほど記述したとおり，リーマンテンソルは0になる． $$ R _ {nnjk} ＝ 0, \, R _ {injj} ＝ 0 $$ その他の場合は $R _ {ninj}, R _ {innj}, R _ {nijn}, R _ {injn}$ であるが，これらは添字の対称性よりすべて $R _ {ninj}$ の形に帰着される．
$R _ {innj} = -R _ {ninj}, R _ {nijn} = -R _ {ninj}, R _ {injn} = R _ {ninj}$ というわけである．
下記に $R _ {ninj}$ 型のパターンを全て網羅した表を用意した．太字の箇所は独立な成分を表しており，それぞれにAからRの18個のアルファベットを割り当てている．細字の箇所は従属な成分を表しており，それに該当するアルファベットは独立成分を用いてどう表されるかを意味している．
たとえば，$R _ {0101} = A, R _ {0102} = B$ は独立な成分である．$R _ {2120}$ は独立な成分ではなく $R _ {2120} = L = R _ {2021}$ となる．
| 0101 A | 1010 A | 2020 D | 3030 F |
| 0102 B | 1012 G | 2021 L | 3031 P |
| 0103 C | 1013 H | 2023 M | 3032 Q |
| 0201 A | 1210 G | 2120 L | 3130 P |
| 0202 D | 1212 I | 2121 I | 3131 K |
| 0203 E | 1213 J | 2123 N | 3132 R |
| 0301 C | 1310 H | 2320 M | 3230 Q |
| 0302 E | 1312 J | 2321 N | 3231 R |
| 0303 F | 1313 K | 2323 O | 3232 O |
上の表から独立な成分だけを抜き出すと次のようになる．
基本的にリーマンテンソルの$R _ {ninj}$ 型の成分は下の18個を求めればよい．
| 0101 A | 1012 G | 2023 M |
| 0102 B | 1013 H | 2123 N |
| 0103 C | 1212 I | 2323 O |
| 0202 D | 1213 J | 3031 P |
| 0203 E | 1313 K | 3032 Q |
| 0303 F | 2021 L | 3132 R |
添字が全て異なる場合
この場合は添字は全部で24通りあるからめんどくさそうだが，実は対称性を用いることで独立成分はたったの2個しかないことが求められる．今回も添字の全パターンを網羅して調べてみよう．下の表の太字の部分で他の成分を表せる．
| 0123 S | 1023 -S | 2013 -T | 3012 -U |
| 0132 -S | 1032 S | 2031 T | 3021 U |
| 0213 T | 1203 U | 2103 -U | 3102 -T |
| 0231 -T | 1230 -U | 2130 U | 3120 T |
| 0312 U | 1302 T | 2301 S | 3201 -S |
| 0321 -U | 1320 -T | 2310 -S | 3210 S |
この表を見ると独立な成分はS,T,Uの3つに思えるが最後の対称性 $$ R _ {nijk} + R _ {njki} + R _ {nkij} = 0 $$ を用いれば， $S+T+U=0$ が成り立つので，結局 $U=-S-T$ となり独立な成分は2つとなる．
リーマンテンソルの独立な成分一覧
4次元時空におけるリーマンテンソルの独立な成分は下記の表の20個である．
| 0101 | 1013 | 2323 |
| 0102 | 1212 | 3031 |
| 0103 | 1213 | 3032 |
| 0202 | 1313 | 3132 |
| 0203 | 2021 | 0123 |
| 0303 | 2023 | 0213 |
| 1012 | 2123 |
あとの成分は添字の対称性の使い方を覚えて，$R _ {1111}, R _ {1101}, R _ {1123}$ のような形の成分はすべて0になることを覚えておけばよい，
付録1: 3次元時空のリーマンテンソルの独立な成分
3次元時空でのリーマンテンソルの独立な成分を考えるときは，4次元時空についての表で「3」という添字を抜けばよい.
3次元時空ではリーマンテンソルは81成分あるが，独立なものは以下の6つのみである．
| 0101 | 0202 | 1212 |
| 0102 | 1012 | 2021 |
付録2: 3次元時空のリーマンテンソルの独立な成分
2次元時空ではリーマンテンソルは16成分あるが，独立なものは $R _ {0101}$ のみである．
ニュートン重力における軌道
質量 $ m $ の質点が質量 $ M $ の天体の周囲を公転しているとする. このとき極座標での系のラグランジアンは $$ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^ 2 + r^ 2 \dot{\theta}^ 2) + \frac{GMm}{r} $$ となる. ここで $r$ は天体と質点の距離, $G$ は万有引力定数である. この後必要になる微分を先に求めておくと, $$ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= m\dot{r} \\ \frac{\partial L}{\partial r} &= mr\dot{\theta}^ 2 - \frac{GMm}{r^ 2}\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= mr^ 2\dot{\theta}\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= 0\\ \end{align} $$ だから, 求めるオイラー・ラグランジュ方程式は $r$ については, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}) - \frac{\partial L}{\partial r} &= 0 \\ m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^ 2 + \frac{GMm}{r^ 2} &= 0 \end{align} $$ $\theta$ については, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}) - \frac{\partial L}{\partial \theta} &= 0 \\ \frac{d}{dt}(mr^ 2\dot{\theta}) &= 0 \end{align} $$ である. 後者の式は角運動量保存則 $l=mr^ 2\dot{\theta} = const.$ を表す. これを式変形すると $ \dot{\theta} = \frac{l}{mr^ 2}$ だからこれを $r$ の式に代入すると $$ m\ddot{r} -\frac{l^ 2}{mr^ 3} + \frac{GMm}{r^ 2} = 0 $$ が得られる. 左辺第二項と第三項は変数 $r$ の微分であるから, ポテンシャル$V(r)$ を用いることで $$ \begin{align} V(r) &= \frac{l^ 2}{2mr^ 2} - \frac{GMm}{r} \\ m\ddot{r} &= -\frac{d V}{dr} \end{align} $$ の形が得られる. 結局 $r$ 方向の運動はポテンシャル下の問題に帰着されるのだ. ここで系の力学的エネルギー $E$ を考えると $$ \begin{align} E &= \frac{1}{2}m(\dot{r}^ 2 + r^ 2 \dot{\theta}^ 2) - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + \frac{1}{2}m r^ 2 \dot{\theta}^ 2 - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + \frac{l^ 2}{2mr^ 2} - \frac{GMm}{r} \\ &= \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 + V(r) \end{align} $$ である. ポテンシャルを左辺に移項すると次のようになる. $$ E-V(r) = \frac{1}{2}m \dot{r}^ 2 $$ これが表すことはこうだ. ポテンシャル $V(r)$ のグラフを描いたとき, 力学的エネルギー $E$ と交わるような $r$ のときに, $r$方向の速度は0になる. 左辺が0以上のなる領域では $r$ 方向の速度分の運動エネルギーは $E-V(r)$ で与えられる.
ベクトル場の共変微分(備考録)
デカルト座標におけるベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の微分は次のように書ける $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} $$ ここで $A^ {\mu}$ はベクトル場の成分, $x^ {\nu}$ は座標の成分, $\boldsymbol{e} _ {\mu}$ はデカルト座標系の基底, $\boldsymbol{e}^ {\nu}$ は双対基底である.
テンソルは成分だけよりも基底を使ったほうが扱いやすいしわかりやすいので, この記事でテンソルを扱う際には常に基底を表示することにする.
デカルト座標系から一般座標系へとベクトル場の微分を変換していく. まずはじめにベクトル場の成分を座標変換すると $$ \begin{align} \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial}{\partial x^ {\nu}}(\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k})\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \\ &= \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial}{\partial u^ {l}} (\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k})\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \\ &= \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} + \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} \end{align} $$ となる. ここで $u^ {\nu}$ は一般座標系の座標である. 相変わらず一般相対論は添字だらけでごちゃごちゃになって大変だ. 次に最後の右辺の第一項と第二項をそれぞれ個別に式変形していく.
第一項の変形
第一項はデカルト座標系の基底を一般座標系の基底 $\boldsymbol{f} _ {\mu}, \boldsymbol{f}^ {\mu}$ で表すことでクリストッフェル記号を含んだ形になる.
基底の変換は, $$ \begin{align} \boldsymbol{e} _ {\mu} &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \boldsymbol{f} _ {a}, \\ \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial x^ {\nu}}{\partial u^ b} \boldsymbol{f}^ {b} \end{align} $$ となるので, これを第一項に代入すると $$ \begin{align} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial x^ {\nu}}{\partial u^ b} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \\ &= \delta^ l _ b \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \\ &= \frac{\partial u^ a}{\partial x^ {\mu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {b} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} \end{align} $$ となるから, 最後の式にクリストッフェル記号が出てくることがわかる. まとめると, $$ \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial^ 2 x^ {\mu}}{\partial u^ {l} \partial u^ {k}} B^ {k} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = \Gamma^ {a} _ {\, bk} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {a} \otimes \boldsymbol{f}^ {b} $$ となる. 添字を整理すると結局 $$ \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ が得られる.
第二項の変形
第二項の変形は第一項より多少は楽である. $$ \begin{align} \frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} &= \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} (\frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} \boldsymbol{e} _ {\mu}) \otimes (\frac{\partial u^ l}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e}^ {\nu}) \end{align} $$ であり, 右辺の括弧の部分の偏微分は「デカルト座標系の基底を一般座標系で表すときの変換係数」の逆変換となることに気をつけると, $$ \frac{\partial B^ {k}}{\partial u^ {l}} \boldsymbol{f} _ {k} \otimes \boldsymbol{f}^ {l} $$ となり, これも添え字を整理することで $$ \frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ が得られる.
共変微分
第一項と第二項を足し合わせることで次の結果が得られる. $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}} \boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = (\frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} + \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k}) \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ この右辺が求めたかった共変微分の式であり, $$ \nabla _ {\nu} B^ {\mu} = (\frac{\partial B^ {\mu}}{\partial u^ {\nu}} + \Gamma^ {\mu} _ {\, \nu k} B^ {k}) $$ となる. このときもちろん $$ \frac{\partial A^ {\mu}}{\partial x^ {\nu}}\boldsymbol{e} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{e}^ {\nu} = \nabla _ {\nu} B^ {\mu} \boldsymbol{f} _ {\mu} \otimes \boldsymbol{f}^ {\nu} $$ であり, 共変微分は平坦な空間では通常の偏微分になることを表している.
ベクトル場の共変微分のクリストッフェル記号部分は, ベクトルの座標変換 $$ A^ {\mu} = \frac{\partial x^ {\mu}}{\partial u^ {k}} B^ {k} $$ の左辺の係数から来ている, このことを考えると2階テンソル場の共変微分でクリストッフェル記号が2個現れるのも納得だろう.
対角型の計量テンソルのクリストッフェル記号
クリストッフェル記号(添字 $i$ で縮約をとっている)
$$ \Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = \frac{1}{2} g^ {ni}(g _ {\nu i, \mu} + g _ {\mu i, \nu} - g _ {\mu \nu, i}) $$
一般相対論でしょっちゅう出てくる基本的な記号のくせに計算するのが意外と面倒なやつである. そもそも定義に添え字が多くて覚えるのが面倒で, しかも添字は3つあるせいで計算が面倒と, やっかいなものである.
しかもテンソルっぽい形をしているのにテンソルではないという. テンソルを多次元配列みたいなものとか, 行列みたいなものと考えていると, まず間違いなく理解できなくて積んでしまうポイントだろう.
Note:
詳しくは解説しないが, もしこれがテンソルだったら座標変換のときに, なんらかの変換テンソルA,B,Cを用いて
$$ \hat{\Gamma} ^ {n} _ {\, \mu \nu} = A^ n _ {\,i} B^ j _ {\, \mu} C^ k _ {\, \nu} \Gamma ^ {i} _ {\,jk} $$ のように変換されるべきである. しかし実際にはそうなっていないのでテンソルではない.
物理学では「座標変換したときにどう変換されるか」に着目してテンソルを定義している. なぜそんな定義をしているのかというと, 式をテンソルで表すとどの座標系を用いても同じ形の式になるからである. これは一般相対論の原理にも関わる重要な性質である.
クリストッフェル記号を計算しよう
今回はタイトルの通り, 対角成分以外の成分が0である計量テンソルの場合に限ってクリストッフェル記号を計算する. このとき, 式(1)の2階反変計量テンソル $g^ {ni}$ は $n\neq i$ のとき0だから, クリストッフェル記号は $$ \Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = \frac{1}{2} g^ {nn}(g _ {\nu n, \mu} + g _ {\mu n, \nu} - g _ {\mu \nu, n}) $$ となる. ただし式(2)の添字では縮約をとっていない.
ここでクリストッフェル記号の添字 $n. \mu, \nu$について場合分けをしよう. 考えられるのは次の4つのパターンだ.
| 添字のパターン | 添字の例 |
|---|---|
| (1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $ | $\Gamma^ 0 _ {\,00},\Gamma^ 1 _ {\,11} $ |
| (2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,10}, \Gamma^ 2 _ {\,02}$ |
| (3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$ | $\Gamma^ 0 _ {\,11}, \Gamma^ 1 _ {\,00}$ |
| (4) すべて異なる $n \neq \mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,23}$ |
この場合分けと, クリストッフェル記号の対称性 $\Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = \Gamma^ n _ {\, \nu \mu}$ そして計量テンソルの対称性 $ g _ {\mu \nu} = g _ {\nu \mu}$ を用いると, クリストッフェル記号は意外とシンプルな形になるのである.
(1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $
この場合はすぐに計算できる. 下記の式では縮約をとっていないことに注意. $$ \begin{align} \Gamma^ n _ {\, nn} &= \frac{1}{2} g^ {nn}(g _ {nn,n} + g _ {nn,n} - g _ {nn,n}) \\ &= \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {nn,n} \end{align} $$
(2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$
今回もすぐに計算できる. 下記の式では縮約をとっていないことに注意. $$ \begin{align} \Gamma^ n _ {\, n \nu} &= \frac{1}{2} g^ {nn}(g _ {\nu n, n} + g _ {n n, \nu} - g _ {n \nu, n}) \\ & = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {n n, \nu} \end{align} $$ 二行目への変形では計量テンソルが対角成分しか持たないことを用いた. もちろん添字の対称性を用いても同じ結果が得られる. クリストッフェル記号の対称性より $ \Gamma^ n _ {\, \nu n} = \Gamma^ n _ {\, n \nu} $ である.
(3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$
やはり今回もすぐに計算できる. 下記の式では縮約をとっていないことに注意. $$ \begin{align} \Gamma^ n _ {\, \mu \mu} &= \frac{1}{2} g^ {nn}(g _ {\mu n, \mu} + g _ {\mu n, \mu} - g _ {\mu \mu, n}) \\ & = -\frac{1}{2} g^ {nn}g _ {\mu \mu, n} \end{align} $$ 今回も計量テンソルが対角成分しか持たないことを用いた. この結果は前回のものと比較して符号がマイナスになっている.
(4) すべて異なる $n \neq \mu \neq \nu$
この場合は, 計量テンソル $ g _ {\mu \nu} $ の添字は常に異なるため0になる. 下記の式では縮約をとっていないことに注意. $$ \begin{align} \Gamma^ n _ {\, \mu \nu} &= \frac{1}{2} g^ {nn}(g _ {\nu n, \mu} + g _ {\mu n, \nu} - g _ {\mu \nu, n}) \\ &= 0 \end{align} $$
まとめ
上記の4つの場合を表にまとめると以下のようになる. もちろん以下の結果では添字で縮約をとっていないことに注意が必要である.
| 添字のパターン | 添字の例 | 結果 |
|---|---|---|
| (1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $ | $\Gamma^ 0 _ {\,00},\Gamma^ 1 _ {\,11} $ | $\Gamma^ n _ {\, nn} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {nn,n}$ |
| (2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,10}, \Gamma^ 2 _ {\,02}$ | $\Gamma^ n _ {\, n \nu} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {n n, \nu}$ |
| (3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$ | $\Gamma^ 0 _ {\,11}, \Gamma^ 1 _ {\,00}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \mu} = -\frac{1}{2} g^ {nn}g _ {\mu \mu, n}$ |
| (4) すべて異なる $n \neq \mu \neq \nu$ | $\Gamma^ 1 _ {\,23}$ | $\Gamma^ n _ {\, \mu \nu} = 0$ |
結果のところを見ると, 驚くほどシンプルな形になったのがわかると思う. 上3行は似たような形だし, 添字がすべて異なる場合はなんと0になる. あんだけ計算がめんどくさそうな定義のクリストッフェル記号も, 場合分けをきちんとすることでこんなに簡単な式に帰着されるのだ. もちろんこの結果は計量テンソルが対角成分のみの場合に限るのを忘れてはいけない.
例題: シュワルツシルト計量のクリストッフェル記号
アインシュタイン方程式の一番単純なブラックホール解として有名なシュワルツシルト解を例に具体的に計算をしてみよう.
シュワルツシルト解の線素は次のようになる. $$ ds^ 2 = -(1-\frac{r _ s}{r})dt^ 2 + (1-\frac{r _ s}{r})^ {-1} dr^ 2 + r^ 2 d\theta ^ 2 + r^ 2 \sin^ 2 \theta d\phi^ 2 $$ ここで $ c=1 $の単位系を用いた. また $ r _ s = \frac{2GM}{c^ 2} = 2GM $ はシュワルツシルト半径である. $ G, M $ はそれぞれ万有引力定数と天体の質量である.
このとき計量テンソルは $$ g _ {\mu \nu} = \begin{bmatrix} -(1-\frac{r _ s}{r}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{r _ s}{r})^ {-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^ 2 \sin^ 2 \theta \end{bmatrix} $$
$$ g^ {\mu \nu} = \begin{bmatrix} -(1-\frac{r _ s}{r})^ {-1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{r _ s}{r}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^ {-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{r^ 2 \sin^ 2 \theta} \end{bmatrix} $$
である. この計量には $t, \phi$ に依存する成分がないため, $$ \begin{align} g _ {\mu \nu , 0} &= 0 \\ g _ {\mu \nu, 3} &= 0 \end{align} $$ がすぐに言える. また，$r$ による微分を一部抜粋すると次のようになる． $$ \begin{align} g _ {00 , 1} &= -\frac{\partial}{\partial r} (1-\frac{r _ s}{r}) = -\frac{r _ s}{r^ 2}, \\ g _ {11, 1} &= \frac{\partial}{\partial r} (1-\frac{r _ s}{r})^ {-1} = \frac{-r _ s}{(r-r _ s)^ 2} \end{align} $$ では早速上で導いた4つのパターンに沿ってクリストッフェル記号を計算していこう.
(1) すべて同じ $ n = \mu = \nu $
この場合のクリストッフェル記号は次のようになるのであった. $$ \begin{align} \Gamma^ n _ {\, nn} &= \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {nn,n} \end{align} $$ 式(14)(15)より $n = 0, 3$の場合は0になる．また, $g _ {22}$ は $\theta$ によらないので $n=2$ のときも0になる.
結局今回の場合に有限の値を取るのは $\Gamma^ 1 _ {\,11}$ のみとなる. これを計算すると, $$ \begin{align} \Gamma^ 1 _ {\, 11} &= \frac{1}{2} g^ {11}g _ {11,1} \\ & = -\frac{1}{2}(1-\frac{r _ s}{r})\frac{-r _ s}{(r-r _ s)^ 2} \\ & = -\frac{r _ s}{2r}\frac{1}{(r-r _ s)} \end{align} $$ となる.
(2) ひとつの共変添字だけが反変添字と一致 $n=\mu \neq \nu$
この場合のクリストッフェル記号は次のようになるのであった. $$ \Gamma^ n _ {\, n \nu} = \frac{1}{2} g^ {nn}g _ {n n, \nu} $$ 計量テンソルの対角成分を各成分で微分する操作が含まれている.
このときクリストッフェル記号が0になる成分を以下の表にまとめた.
| 添字 $(n, \nu)$ | 理由 |
|---|---|
| (1, 0), (2, 0), (3, 0) | $t$ 依存性なし |
| (1, 2), (3, 2) | $\theta$ 依存性なし |
| (0, 3), (1, 3), (2, 3) | $\phi$ 依存性なし |
クリストッフェル記号が0でない値を取るのは, $\Gamma^ n _ {\, n1}, \Gamma^ 3 _ {\, 32}$ の2パターンのみである. $$ \begin{align} \Gamma^ 0 _ {\, 0 1} = \frac{1}{2} g^ {00}g _ {00, 1} &= \frac{1}{2}(1-\frac{r _ s}{r})^ {-1} \frac{r _ s}{r^ 2}\\ &= \frac{1}{2}(\frac{r _ s}{r})\frac{1}{(r-r _ s)} \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 2 _ {\, 2 1} = \frac{1}{2} g^ {22}g _ {22, 1} = \frac{1}{2} r^ {-2} \cdot 2r = \frac{1}{r} \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 3 _ {\, 3 1} &= \frac{1}{2} g^ {33}g _ {33, 1} = \frac{1}{2} \frac{1}{r^ 2 \sin^ 2 \theta} \cdot 2r \sin^ 2 \theta = \frac{1}{r} \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 3 _ {\, 32} = \frac{1}{2} g^ {33}g _ {33, 2} &= \frac{1}{2} \frac{1}{r^ 2 \sin^ 2 \theta} \cdot 2r^ 2 \sin \theta \cos \theta \\ &= \frac{1}{\tan \theta} \end{align} $$
(3) 2つの共変添字が一致 $n \neq \mu=\nu$
この場合のクリストッフェル記号は次のようになるのであった. $$ \Gamma^ n _ {\, \mu \mu} = -\frac{1}{2} g^ {nn}g _ {\mu \mu, n} $$ 前回と同様の理由でこれが0でない値を取るのは, $\Gamma^ 1 _ {\, \mu \mu}, \Gamma^ 2 _ {\, 33}$ の2パターンのみである. $$ \begin{align} \Gamma^ 1 _ {\, 00} = -\frac{1}{2} g^ {11}g _ {00, 1} &= \frac{1}{2} (1-\frac{r _ s}{r}) \frac{r _ s}{r^ 2} \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 1 _ {\, 22} = -\frac{1}{2} g^ {11}g _ {22, 1} &= -\frac{1}{2} (1-\frac{r _ s}{r}) \cdot 2r = -(r-r _ s) \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 1 _ {\, 33} = -\frac{1}{2} g^ {11}g _ {33, 1} &= -\frac{1}{2} (1-\frac{r _ s}{r}) \cdot 2r \sin^ 2 \theta \\ &= -(r-r _ s) \sin^ 2 \theta \end{align} $$
$$ \begin{align} \Gamma^ 2 _ {\, 33} = -\frac{1}{2} g^ {22}g _ {33, 2} &= -\frac{1}{2} r^ {-2} \cdot 2r^ 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = -\sin \theta \cos \theta \end{align} $$
これでシュワルツシルト計量のクリストッフェル記号はすべて計算が完了した. 添字がすべて異なる場合は0になる.
座標変換と計量テンソル
# 座標変換と計量テンソル
デカルト座標系 $X^ i$ (基底は $\boldsymbol{a} _ i$ )と一般座標系 $x^ i$ (基底は $ \boldsymbol{b} _ i $ ) の2つを考える. 空間上のある一点を位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ は, デカルト座標系では次のように表わせる
$$ \boldsymbol{r} = X^ i \boldsymbol{a} _ i. $$
この両辺を全微分すると
$$ d\boldsymbol{r} = dX^ i \boldsymbol{a} _ i $$
となる. ここでチェーンルールを用いてデカルト座標系の成分の全微分を一般座標系に変換すると,
$$ \begin{align} d\boldsymbol{r} &= \frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} dx^ j \boldsymbol{a} _ i \\ &= dx^ j (\frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} \boldsymbol{a} _ i) \\ &= dx^ j \boldsymbol{b} _ j \end{align} $$
となる. これより基底 $\boldsymbol{b} _ i$ の求め方が明らかとなった. まずデカルト座標で点を表したあとに, 任意の座標成分を用いてデカルト座標の成分がどう表せれるかを考えるのがポイントである.
Note:
基底ベクトルは $\boldsymbol{b} _ i = \frac{\partial X^ i}{\partial x^ j} \boldsymbol{a} _ j $ と変換されるが, 成分の方は $x^ i = \frac{\partial x^ i}{\partial X^ j} X _ j$ と変換されることに注意. この2つの変換はそれぞれ逆変換になっている. 成分 $X _ i$ の変換は基底の方の逆変換となっているので反変成分と呼ばれる.
一般座標系の基底は場所によって変化することに注意. 上の記述では, 基底 $\boldsymbol{b} _ i$ は点 $\boldsymbol{r} = (x^ 1, x^ 2, ... , x^ n)$ における基底 $\boldsymbol{b} _ i = \boldsymbol{b} _ i (x^ 1, x^ 2, ... , x^ n)$ としている.
例: 球面座標の基底を求めよう
球面座標 $(r, \theta, \phi)$ を例に上の考えを確かめてみよう. ここでデカルト座標 $(x,y,z)$ で表せる点は球面座標を用いると次のように書ける.
$$ \begin{align} x &= r \sin \theta \cos \phi, \\ y &= r \sin \theta \sin \phi, \\ z &= r \cos \theta \end{align} $$
これを行列を用いて書くと次のようになる.
$$ \begin{bmatrix} dx\\ dy\\ dz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi\\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi\\ \cos \theta & -r\sin \theta \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dr\\ d\theta\\ d\phi \end{bmatrix} $$
右辺の係数行列の列の部分が球面座標の基底の成分となる.
$$ \begin{align} \boldsymbol{e} _ r &= (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta), \\ \boldsymbol{e} _ {\theta} &= (r\cos \theta \cos \phi, r\cos \theta \sin \phi, -r\sin \theta \cos \phi),\\ \boldsymbol{e} _ {\phi} &= (-r\sin \theta \sin \phi, r\sin \theta \cos \phi, 0) \end{align} $$
通常は$r$ を括りだしたものを $\boldsymbol{e} _ {\theta}$ とし, $r\sin\theta$ を括りだしたものを $\boldsymbol{e} _ {\phi}$ とすることが多い.
計量テンソル
一般座標系における,空間内のある点 $\boldsymbol{r}$ での位置ベクトルの全微分を
$$ d\boldsymbol{r} = dx^ i \boldsymbol{e} _ i $$
とすると, 線素 $ds^ 2$ は次のようになる.
$$ \begin{align} ds^ 2 &= \boldsymbol{e} _ i \cdot \boldsymbol{e} _ j dx^ i dx^ j \\ &= g _ {ij} dx^ i dx^ j \end{align} $$
上の式に出てくる $g _ {ij}$ が計量テンソルである.
例: 球面座標の計量テンソル
さきほど導出した球面座標の基底ベクトルを代入して考えれば余裕である. 線素は
$$ ds^ 2 = dr^ 2 + r^ 2 d\theta^ 2 + r^ 2 \sin ^ 2 \theta d \phi ^ 2 $$
となるから, これからすぐに球面座標の計量テンソルがわかる.
$$ g _ {ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & r^ 2 \sin^ 2 \theta \end{bmatrix} $$
文章を書く準備
文章を書く準備
インターネットで趣味の活動をしている人にとって最も大切なことは, 趣味を文章化することだ. そして趣味を語れるようにすることだ. これがまず一番最初に必要な大前提だ. 趣味の面白さをひとに説明するときや, 同じ趣味の仲間を探すときや, 同志を情報交換するときなど, とにかく自分の趣味の活動を文章で語れるかどうかは重要になってくる.
文章化して語れるようになるには準備が必要だ. 準備なしにいきなり語ろうとしても, 何を語ればいいのかがわからないから全然語れない. どこから話せばいいのか,どういう順番で話せばいいのかがわからない.
わたしもvrchatで出会った人にブラックホールの面白さとか, シンギュラリティーの話をしたいと思ったことがあるが,上に書いていたように,自分の趣味を伝えるために十分な文章化をしていなかったくて話の内容すら出てこなかったのである.
ちゃんとした文章を作らなくてもスライドぐらいは作って準備しておいたほうがいいのかもしれない.
